//////

Miesięczne archiwum: Listopad 2009

CHARAKTERYSTYCZNE CZYNNIKI

Dwa czynniki charakteryzują więc stan naj­bardziej prawdopodobny. Jednym jest rozkład składników, np. równa liczba reszek i orłów, drugim — stopień nieuporządkowania. Co moż­na przyjąć za miarę nieuporządkowania? Najprościej — liczbę kombinacji najbar­dziej prawdopodobnego rozkładu orłów i re­szek. Oznaczmy tę liczbę przez C. W przypad­ku dwóch rzutów monetą C — 2: najpierw reszka, potem orzeł; najpierw orzeł, potem reszka. W przypadku dziesięciu rzutów monetą okazuje się, że C = 252, tzn. istnieją nie mniej niż 252 kombinacje, które zawierają pięć orłów pięć reszek. W przypadku 1022 rzutów mone­tą C jest liczbą astronomiczną (w przybliżeniu podniesione do potęgi 1022).

W PRZYBLIŻENIU

To, że C rośnie w przybliżeniu wykładniczo ze wzrostem liczby rzutów, samo w sobie nie byłoby kłopotliwe, lecz kłóci się z naszym psychologicznym od­czuciem, podobnie jak zegar nenufarowy . Gdy przechodzimy od dwóch rzutów do dziesięciu, czujemy, że nieuporządkowanie powinno wzrosnąć prawie 5~krotnie, a nie 126 razy. Idąc dalej, rozważmy sytuację złożoną z dwóch serii po dziesięć rzutów. Każdej kom­binacji (sposobowi uporządkowania orłów i re­szek) w ramach pierwszej serii odpowiadają 252 kombinacje w ramach drugiej serii, czyli wszystkich kombinacji w tej złożonej sytuacji jest 252 • 252. Nie jest to znów zgodne z naszy­mi oczekiwaniami.

WZROST NIEUPORZĄDKOWANIA

Nieuporządkowanie wzrasta 252-krotnie, podczas gdy czujemy, że powinni się tylko podwoić. I nasuwa się jeszcze jedna uwaga krytyczna. W sytuacji, gdy C — 1, brak nieuporządkowania. Z pewnością liczba je określająca powinna być zerem.Na szczęście istnieje funkcja matematyczna od C, która przezwycięża wszystkie te obiekcje. Jest nią logarytm naturalny C, w zapisie lnQ którego wartość możemy odczytać w tablicach / logarytmów naturalnych (neperowskich) . Zlogarytmowanie C sprowadza zależność wykładniczą do liniowej, pozwala nam doda­wać stopnie nieuporządkowania zamiast je mnożyć i zapewnia, że w przypadku, gdy C~ = 1, stopień nieuporządkowania jest zerowy* Wydaje się on bardziej zadowalającą miarą nier uporządkowania i rzeczywiście jest wykorzy­stywany w praktyce.

STOPIEŃ NIEUPORZĄDKOWANIA

Stopień nieuporządkowa­nia najbardziej prawdopodobnego stanu w przy¬padku dwóch rzutów wynosi więc ln2 — 0,69, w przypadku dziesięciu rzutów — ln252 = 5,53, a w przypadku 1022 rzutów — lnlO22 = 50,66.
Obecnie, aby zbudować most łączący rzuty monetą z rzeczywistym światem, należy sku¬pić uwagę na sytuacji złożonej z dwóch serii po dziesięć rzutów. Ma to znaczenie wyjątkowo fundamentalne, gdyż pozwoli zrozumieć, dla¬czego trudno uniknąć zetknięcia z magią. Sto¬pniem nieuporządkowania w ramach jednej z tych serii jest, jak właśnie odnotowaliśmy, ln252 = 5,53. W ramach dwóch jest nim ln (252 • 252) = 2 • 5,53 = 11,06, czyli liczba do¬kładnie dwa razy większa.